高等数学范例剖析240题

上篇 溯本求源 120例

一 怎样解题的例

解题意味着从困难中去寻找一条越过障碍的路，使我们能够达到一个不易即时到达的目标．然而，这样一条通向目标的路又谊如何去寻找?

二 意识在解题中的作用

解题是一种高级心理活动，在解题过程中意识将起着特殊的调节作用，这种作用表现为意识使人在头脑中进行活动，并在头脑中产生概念、思想和计划来指导自己的解题行动，使解题活动更具有目的性、方向性和预见性，从而使解题过程有效地完成。

1．已有知识的使用意识

对某些技巧、方法或知识的强烈使用意识往往会使问题得到简洁的解法。

2．深究意识

两个“重要极限”究竟为什么重要,几乎所有的教材都没有直接点出来。

3．判断意识与预测意识

倘使认定最初的思路，将逐次求导“顽强”地执行下去，必然会陷入困境！

4．“加工转化”的意识

对所给的对象适当改造加工往往会使解答简捷，事半功倍。

三、关于“套路”与“散打”的问题

解数学题中也有类似于武术的套路与散打的问题．“遇到这类题目应谊这样去做……”，“遇到那样的题目应该那样去做……”，如此等等．但是，仅满足于使学生弄懂、记牢从老师或书本得来的知识和方法并通过练习以期达到必要时能够加以准确再现是不够的。

1．分解、拼合与问题对、问题组

通过拼合与分拆，可从其中某问题的结果马上推断导出另一个的结果来。

2．借助于直观形象

我们多么希望对称中心能落在x轴上！

3．如果它是所求解

.我们只得先抛开套路，另求它法！

4．关于思维定势

人对某些事习以为常，而对其“反面”总感到不自然而难以接受。

5．一个重积分例的解答

题中积分域虽简单，但其位置却使我们为难。

6．抓住问题的本质

解答完全可以不求偏导函数，我们从偏导数的本质去引出另一解法。

四、关于微分中值定理

“在一定的条件下，可以肯定在所给的区间内至少有一点，使得我们研究的函数在该点具有一定的微分性质”，这就是微分中值定理．它是微分学的理论基础，从它出发，可以导出一系列重要的命题和定理，从而使微分学在更广的范围内起着极其重要的作用。

1．定理的引入

直接陈述出定理内容，不免使人感到神秘，不妨从一个几何事实出发去探求。

2．定理的证明

在此，只想突出直觉在发现问题和解决问题中的作用。

3．定理的应用的例

反证法应比直接证法更优越．因为否定结论b，即设非b。

五、辅助元素

在解几何问题时，我们常常需要在图中引入新的线，即辅助线．在解代数问题时，我们有时要引入辅助未知数．在求解高等数学的许多问题时，往往也需要引入辅助元素．当然，这新的元素可能是角、是线、是面；也可能是变量或函数；甚至可能是一个辅助定理或辅助命题。

1．辅助角、辅助线和辅助面

不难看到它们的共同点是辅助线的引入使问题产生了某种对称性。

2．辅助函数

如何才能找到合适的辅助函数，是一件令人伤脑筋的事。

3．辅助问题

找一个辅助问题，使我们绕过一个不易直接克服的困难去达到目的。

六、推广与收缩

通俗说，推广是将问题普通化，而收缩是将问题特殊化．综观整个“高等数学”内容的展开，就是一个不断推广的过程．大到从单变量函数微积分推广到多变量函数微积分，小至导出某个具体问题的普通形式。

1．层次的推广

有价值的推广常常能给人以启迪，结果也往往十分有用。

2．形式的推广

这些逐一的重复推广是否可抽象为统一意义下的一个有价值的推广呢?

3．情境的推广

值得注意的是从“数字”到“字母”的推广。

七、“凑”的技巧

“凑”的技巧不那么“正统”，常常枚视为“雕虫小技”之类，但是，“凑”的技巧在解决许多问题时却有奇效，显得非常实用．关于这点恐怕无人否认．正因“凑”的小技常常施用于问题求解的关键部位与时机，成为促进成功的关键一步，所以倍受大家青昧。

1．“凑”的使用意识

是否可以利用有益信息的念头．使人想到了“凑”。

2．“凑”的具体手法

“凑”的一般手法，无非是“加上某项再减去某项”“乘以某项再除以某项”。

八、对称与对称性

在某些问题中，我们利用了问题涉及的数学对象本身具有的对称因素去解答问题．但有些问题给出的数学对象原本并不具有什么对称性；或者所具有的对称因素不明显外露，而在强烈意识驱使下，我们借助于一定的手法制造或揭示了问题蕴藏着的对称性，并利用它得到了问题简捷的解答途径。

1．对称函数的求导问题

对任一变元所得的结果都可经变元(字母)的对换直接转移到其它变元。

2．图形的对称

f(x)的图形具有对称性，则函数的运算的每一步，直至结果也将具有相应的对称性。

3．“对称”在积分中的应用

这一结论的应用，在重积分、曲线积分和曲面积分中却往往被忽视。

九、关于一题多解

滥演百题不如精做一题。精做的方式之一就是力求一题多解。倘若面对的问题不是只须“代公式”去毫无遗漏地执行某一程序的话，你就应该尝试从不同的出发点，途径、方法和程序去求解它。如此，至少有这样几个好处

十、关于综合题和应用题

以循序渐进的方式，逐章逐节地学习“高等数学”，对于每个学习者来说，不但可行而且几乎不可替代。然而，在这种追求课程自身完整与系统的思想指导下展开的教学，往往注重学生对基本知识是否掌握，基本技能是否熟练．至于如何使学生能通晓基本理论，如何使学生在综合运用知识去解决问题等方面得到应有的训练，则显得十分薄弱。

1．综合题的例

单位正方体绕其对角线旋转所得的族转体的体积应如何求得。

2．应用题的例

为使炮弹内装药量尽可能地步，应该如何设计药柱的截面形状?

下篇 感悟求道 120题

一、问题

学数学最好的办法是“做数学”，为给读者提供练习的机会，这里给出了120个问题．请记住数学家p．r．hslmos的名言：“问题是数学的心脏”。

二、提示

这里的提示给出了一种通向解答的途径。

三、解答

这里的解答不仅给出了答案，也给出了由“提示”所揭示的解题念头到得出答案的过程。

附录 例题、习题索引

出版后记