整体微分几何导引[电子资源.图书]

第一章 微分流形
§1．1 预备知识
1 拓扑空间
2 曲线与线性连通
3 诱导拓扑
4 拓扑基与第二可数性公理
5 同胚映射
6 紧致拓扑空间
7 数空间
8 度量空间
9 度量空间的完备化
10 局部有限、仿紧空间
习题1．1
§1．2 微分流形
1 导引
2 定义
3 例子
习题1．2
4 切空间及余切空间
5 向量场
6 切丛及余切丛
7 微分映射
8 子流形
§1．3 流形上的微积分与Stokes定理
1 关于多变数的积分
2 外代数(又称为Grassmann代数)
习题1．3
3 de Rham群
4 流形上的微积分与Stokes定理
习题1．4
§1．4 张量算法
1 张量代数
2 张量场
§1．5 李代数
1 李代数
2 子代数、商李代数、同态映射
3 李代数的自同构
4 表示
5 李代数的结构
习题1．5
§1．6 单参数变换群与李导数
1 单参数变换群
2 李导数
习题1．6
§1．7 李群
1 定义
2 李群的实例
3 局部李群
4 流形上向量场的李代数
5 李变换群
6 李群的李子群
7 双不变形式
8 指数映射补遗
§1．8 外导数、外微分问题补遗
1 定义与基本定理
2 外微分的性质
3 外微分算子d与向量场的括号积[X，Y]＝XY-YX的关系
第二章 仿射联络空间
§2．1 仿射联络的定义
§2．2 仿射联络的公理化
§2．3 自平行曲线
§2．4 Cartan结构方程
习题
第三章 黎曼空间
§3．1 黎曼度量及其存在性
§3．2 黎曼联络
§3．3 联络与展开
§3．4 测地线上的共轭点
习题3．1
习题3．2
§3．5 和乐群
§3．6 齐性空间与对称空间
1 对称黎曼空间
2 格拉斯曼流形
§3．7 空间型问题
§3．8 嵌入问题
§3．9 调和积分
习题3．3
第四章 极小曲面与柏拉图问题
§4．1 极小曲面的唯一性问题
§4．2 渐近曲线、球面表示
§4．3 极小螺旋面与悬链面
§4．4 柏拉图问题
第五章 平面曲线的整体性质
§5．1 闭曲线
1 卵形线
2 四顶点定理
3 等阔曲线
4 卵形线上的反极点
5 支持函数
6 卵形线的最小和最大曲率圆
习题5．1
§5．2 等周问题
1 等周不等式
2 Crofton公式
3 切线旋转定理
习题5．2
复习提纲与总习题
第六章 空间曲线的整体性质
§6．1 球面的Crofton公式
§6．2 Fenchel定理
§6．3 闭曲线的全挠率
§6．4 Fary-Milnor定理
§6．5 A．Schur定理
习题
第七章 曲面的整体性质
§7．1 欧氏空间中的曲面
§7．2 闭曲面
§7．3 欧拉示性数
习题7．1
§7．4 整体高斯——波恩涅定理
习题7．2
§7．5 卵形面
1 卵形面的刚性
2 Minkowski定理
习题7．3
§7．6 Hopf—Rinow定理与Hadamard定理
第八章 等距变换群
§8．1 整体黎曼几何导引
§8．2 完备性
§8．3 等距变换
§8．4 变分法初步
§8．5 法坐标系
§8．6 常曲率空间的特征
§8．7 齐次空间
§8．8 对称空间
习题8．1
§8．9 截面曲率
§8．10 变分法续论
1 Fermi坐标
2 测地线的相对最短线
习题8．2
第九章 运动群
§9．1 闭曲线的伴随合同变换
§9．2 齐次运动群
§9．3 运动群H~0