Riemann曲面及其上的位势理论[电子资源.图书]

序言
前言
第一章 预备知识
1 拓扑空间
1． 开集和闭集
2． 闭包和边界
3． 诱导拓扑
4． 可数空间
5． 可数空间
6． 连通空间
7． 全不连通点集
8． 紧致空间
9． 局部紧致空间
10． Hausdorff空间
11． Baire范畴集
12． 商空间
13． Alexandroff 紧致化
14． 和空间
15． 乘积空间
16． 距离空间
2 连续映照
1． 映照
2． 连续映照
3． 拓扑映照
4． 一维空间上的非连续开映照的例子
3 弧曲线
1． 弧
2． Jordan曲线
3． 弧连通空间
第二章 曲面拓扑
1 曲面的基本群
1． 流形的基本概念
2． 同伦弧
3． 基本群
4． 单连通
5． 曲线的指数
6． 曲线的指数的连续性
7． 曲线的指数的形变下的不变性
8． Jordan曲线定理
9． 穿孔平面的基本群
10． 映照的度数
11． 曲面的可定向性
12． 镶边曲面
2 覆盖面
1． 光滑覆盖面
2． 射影、弧的提升
3． 正则覆盖面
4． 单值性定理
5． 分支覆盖面
6． 完全覆盖面
7． 覆盖面的可数性
3 覆盖面的基本群
1． 正则覆盖面与基本群的关系
2． 子群对应的覆盖面
3． 子群与其对应的覆盖之基本群的同构
4． 偏序
5． 万有覆盖面
6． 正则覆盖面的覆盖变换
7． 正规覆盖面
8． 换位子群
9． 分支覆盖映照的局部性质
10． 覆盖面的定向
第三章 Riemann曲面
1 Riemann曲面 的概念
1． Riemann曲面的定义
2． Riemann曲面 的子区域
3． 镶边Riemann曲面
4． 镶边曲面的双倍面
5． Riemann曲面 的亏格
6． 解析映照
7． 共变量
8． 单位分解
9． Dirichlet积分
10． Green公式
2 调和函数与Harnack原理
1． 调和函数的定义
2． 调和函数的极值原理
3． Poisson积分
4． Laplace方程、调和函数的等价定义
5． 共轭调 和函数
6． Harnack原理
7． Harnack原理的一般形式
8． Dirichlet原理
3 半调和函数与Dirichlet问题
1． 半连续函数
2． 上、下调和函数及其最佳调和优、劣函数
3． 半调和函数的平均值性质
4． 半调和函数的极值原理
5． 上、下函数
6． Dirichlet 问题、Perron方法
7． 正则点
8． 可数基及穷尽列的存在
4 Green 函数
1． 相对紧区域上的Green函数
2． 开Riemann曲面的Green函数
3． Green函数的理想边界取值
4． Riemann 映照定理
5． 调和测度、理想边界的调和测度
6． Dirichlet解的Green函数之积分表示
7． 混合边界条件的Dirichlet问题之解
第四章 位势理论
1． 下调和函数的逼近定理
1． 下调和函数
2． 与Laplace算子相关的等价的定义
3． 逼近定理
2 对数位势
1． 对数位势
2． 几个引理
3． F． Riesz分解定理
4． 最大值原理
5． 容量
3 Evans位势
1． 导体位势的基本性质
2． 超限直径
3． Evans定理
4 容量与扫除
1． 连续半调和函数的最大值原理
2． 零容集关于调和函数的可去性
3． 正容量集
4． 容量与Green 函数存在之关系
5． 映照半径
6． 单位圆周上容量为1的真子集
7． 扫除
8． 扫除的唯一性
第五章 曲面上的函数族
1 Riemann曲面上的函数论零集
1． 函数类及其相关的记号
2． 与连续统、全不连通集相关的两个引理
3． 可去集
4． 共变量MF
5． 紧致函数类
6． 几种特殊函数类
7． NP零类集与可去集的等价性
8． 极值长度
9． 弧链族之间极值长度的关系
10． 矩形、圆环内链族的极值长度
11． 周界长与不变量MSB、MSD
12． 线性集的可去性
13． AD-可去集的特征
2 半纯函数及其产生的覆盖面
1． 半纯函数的大范围聚值集
2． 半纯函数的价函数
3． Stoilow紧致化
4． 半纯函数的渐近值
5． 半纯函数的大范围聚值集与价函数的关系
6． Iversen性质
7． 关于Iversen性质 的Stoilow原理
3 修正Green函数
1． 双极调和函数
2． 基本引理
3． 修正Green函数
4． 双对数奇性的位势函数
5． Poincare定理
4 平面型Riemann曲面的共形映照
1． 调和函数和解析函数延拓的Schwarz对称原理
2． 平面型区域与复球面子区域共形同胚
3． 多连通区域的调和测度
4． 多连通区域与同心圆弧裂缝环域共形同胚
5． 多连通区域与平行裂缝区域共形同胚
6． 单值化定理
5 Riemann-Roch定理
1． 带极点的位势函数
2． 互反关系
3． 因子式
4． Ricmnn-Roch定理
第六章 非紧Riemann曲面的延拓
1 Fuchs 群
1． 真不连续群
2． 单位圆盘上的非欧度量
3． Fuchs 群及其基本区
4． Fuchs 群的类型
5． Fuchs 群的等价点的分布
6． Fuchs 群的基本区对应的Riemann曲面
7． Fuchs 群对应的Green函数
2 自守函数
1． Ricmann曲面上半纯函数的存在性
2． 不与开单位圆盘共形同胚的万有覆盖面
3． 复平面映上自身的共形变换群
4． Fuchs 群对应的Poincare?级数
3． 开Ricmann曲面的延拓
1． 极大Ricmann曲面的概念
2． Ricmann曲面极大延拓的存在性
3． 极大Ricmann曲面的性质
4． 极大Ricmann曲面的判别
5． 开Ricmann曲面的延拓方法
4 非紧极大镶边Riemann 曲面
1． 镶边Riemann 曲面 延拓的概念
2． 曲面的可延拓性与修正价函数的关系
3． 半纯函数的渐近点
4． 极大镶边Riemann 曲面 的理想边界性质
5． 一个极大开Riemann 曲面 的例子
6． 本性极大Riemann 曲面
第七章 Riemann曲面的分类
1 OG类开Riemann曲面
1． 零类Riemann曲面的包含关系
2． 相对理想边界的调和测度
3． OG类曲面子域的调和函数的最大值原理
4． OG类和非OG类曲面的覆盖面
5． OG类曲面的可正则穷尽性
6． U-类函数
2 Dirichlet积分有限有函数
1． 相对子域类与曲面分类的关系
2． 相对曲面类SOHB和SOHD
3． OAOB和OAOD类曲面
4． OHD和OHBD类曲面
5． 与零容集等价的可去点集
6． 通量
7． 主函数
8． 算子L0和L1
9． 零容集的HD-可去性
10． 复球面上的AD-可去点集
11． 复球面上的AB-可去点集
12． 有限亏格开Riemann曲面的可去理想边界
3 Lindelof 性质
1． 具有Lindelof 性质的曲面类
2． 关于OAOD类曲面的修正Stoilow原理及其逆
3． OAOD类曲面的本性极大性
4 开Riemann曲面分类的几种判别法
1． 单叶OAD 类区域上的半纯函数
2． 棋度判别法
3． 共形度量判别法
4． 正则链判别法
5． 作为复球面覆盖面时的判别
5 严格包含关系
1． OAD＼OAB曲面的存在性
2． 广义Cantor集
3． 一般广义Cantor集
4． Mybreg,P.J的例子
5． Toki，Y的例子
6． Kuroda，M的例子
7． Heins，M的例子
参考文献
名词索引